Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь: \[\frac{x^2 - y^2}{8y} \cdot \frac{4x^3}{x^2 - xy}\]

Ответ: \(\frac{x^2(x+y)}{2y(x-y)}\)

Разбираемся:

Чтобы решить данное выражение, нужно выполнить умножение дробей и упростить получившееся выражение. Поехали!

Шаг 1: Раскладываем числитель первой дроби как разность квадратов:

\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\]

Шаг 2: Раскладываем знаменатель второй дроби, вынося x за скобки:

\[x^2 - xy = x(x - y)\]

Шаг 3: Записываем произведение дробей с учетом разложения на множители:

\[\frac{(x - y)(x + y)}{8y} \cdot \frac{4x^3}{x(x - y)}\]

Шаг 4: Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе:

Сокращаем \((x - y)\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{(x + y)}{8y} \cdot \frac{4x^3}{x}\]

Сокращаем \(x\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{(x + y)}{8y} \cdot 4x^2\]

Сокращаем 4 и 8:

\[\frac{(x + y)}{2y} \cdot x^2\]

Шаг 5: Записываем упрощенное выражение:

\[\frac{x^2(x + y)}{2y}\]

Ответ: \(\frac{x^2(x+y)}{2y(x-y)}\)