Найдите произведение корней уравнения (x – 1)⁴ - x² + 2x - 13 = 0.

Исходное уравнение можно переписать как ((x-1)²)² - (x² - 2x) - 13 = 0.

Заметим, что x² - 2x = x² - 2x + 1 - 1 = (x-1)² - 1.

Тогда уравнение примет вид ((x-1)²)² - ((x-1)² - 1) - 13 = 0.

Сделаем замену y = (x-1)².

Получим y² - (y - 1) - 13 = 0.

Раскроем скобки: y² - y + 1 - 13 = 0.

Приведем подобные: y² - y - 12 = 0.

Решим квадратное уравнение y² - y - 12 = 0.

Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.

Корни уравнения: y₁ = (1 + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4, y₂ = (1 - √49) / 2 = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3.

Теперь найдем x из уравнений (x - 1)² = 4 и (x - 1)² = -3.

1) (x - 1)² = 4. Тогда x - 1 = ±2. Отсюда x₁ = 1 + 2 = 3, x₂ = 1 - 2 = -1.

2) (x - 1)² = -3. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются x₁ = 3 и x₂ = -1.

Произведение корней: 3 * (-1) = -3.

Ответ: -3