Найдите производную функции: c) g(x) = (x³ + 6x – 3)(x + 1); d) g(x) = \(\frac{4x-7}{x^2+4}\)

Решение:

Для нахождения производной используем правила дифференцирования:

• Правило произведения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \)
• Правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
• Правило суммы/разности: \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
• Правило степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
• Производная константы: \( (C)' = 0 \)

c) g(x) = (x³ + 6x – 3)(x + 1)

Обозначим \( u = x^3 + 6x - 3 \) и \( v = x + 1 \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = (x^3 + 6x - 3)' = 3x^2 + 6 \)

\( v' = (x + 1)' = 1 \)

Применяем правило произведения:

\( g'(x) = u'v + uv' = (3x^2 + 6)(x + 1) + (x^3 + 6x - 3)(1) \)

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\( g'(x) = (3x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + (x^3 + 6x - 3) \)

\( g'(x) = 3x^3 + x^3 + 3x^2 + 6x + 6x + 6 - 3 \)

\( g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \)

d) g(x) = \(\frac{4x-7}{x^2+4}\)

Обозначим \( u = 4x - 7 \) и \( v = x^2 + 4 \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = (4x - 7)' = 4 \)

\( v' = (x^2 + 4)' = 2x \)

Применяем правило частного:

\( g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{4(x^2+4) - (4x-7)(2x)}{(x^2+4)^2} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( g'(x) = \frac{4x^2 + 16 - (8x^2 - 14x)}{(x^2+4)^2} \)

\( g'(x) = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x}{(x^2+4)^2} \)

Приведём подобные члены в числителе:

\( g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2+4)^2} \)

Ответ: c) \( g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \); d) \( g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2+4)^2} \).