Найдите производную функции в точке: f(x) = 4x³ - 2x + 117 В точке x₀ = -2.

Решение:

Сначала найдем производную функции \( f(x) \), а затем подставим значение \( x_0 \).

Используем правила дифференцирования:

• Правило степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
• Правило суммы/разности: \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
• Производная константы: \( (C)' = 0 \)

Шаг 1: Найдем производную функции f(x)

\( f(x) = 4x^3 - 2x + 117 \)

\( f'(x) = (4x^3 - 2x + 117)' \)

\( f'(x) = (4x^3)' - (2x)' + (117)' \)

\( f'(x) = 4 \cdot (x^3)' - 2 \cdot (x)' + 0 \)

\( f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 1 \)

\( f'(x) = 12x^2 - 2 \)

Шаг 2: Подставим значение x₀ = -2 в производную

\( f'(-2) = 12(-2)^2 - 2 \)

\( f'(-2) = 12(4) - 2 \)

\( f'(-2) = 48 - 2 \)

\( f'(-2) = 46 \)

Ответ: 46.