2 Найдите производную функции: a) g(x) = (x³ + 6x - 3)(x + 1); b) g(x) = 4x-7 x²+4.

a) $$g(x) = (x^3 + 6x - 3)(x + 1)$$

Производная произведения двух функций $$u(x)$$ и $$v(x)$$ находится по формуле: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

Пусть $$u(x) = x^3 + 6x - 3$$ и $$v(x) = x + 1$$.

• Тогда $$u'(x) = 3x^2 + 6$$ и $$v'(x) = 1$$.

Применим формулу производной произведения:

$$g'(x) = (3x^2 + 6)(x + 1) + (x^3 + 6x - 3)(1) = 3x^3 + 3x^2 + 6x + 6 + x^3 + 6x - 3 = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3$$

Ответ: $$4x^3 + 3x^2 + 12x + 3$$

b) $$g(x) = \frac{4x - 7}{x^2 + 4}$$

Производная частного двух функций $$u(x)$$ и $$v(x)$$ находится по формуле: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$.

Пусть $$u(x) = 4x - 7$$ и $$v(x) = x^2 + 4$$.

• Тогда $$u'(x) = 4$$ и $$v'(x) = 2x$$.

Применим формулу производной частного:

$$g'(x) = \frac{4(x^2 + 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - (8x^2 - 14x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2}$$

Ответ: $$\frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2}$$