8 8 Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции у= х x3 + 12x²

1. Найдем производную функции $$y = x^3 + 12x^2$$.

$$y' = 3x^2 + 24x$$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.

$$3x^2 + 24x = 0$$

$$3x(x + 8) = 0$$

$$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -8$$.

3. Определим знаки производной на промежутках, образованных критическими точками.

При $$x < -8$$, например, $$x = -9$$, $$y' = 3(-9)^2 + 24(-9) = 3 \cdot 81 - 216 = 243 - 216 = 27 > 0$$, функция возрастает.

При $$-8 < x < 0$$, например, $$x = -1$$, $$y' = 3(-1)^2 + 24(-1) = 3 - 24 = -21 < 0$$, функция убывает.

При $$x > 0$$, например, $$x = 1$$, $$y' = 3(1)^2 + 24(1) = 3 + 24 = 27 > 0$$, функция возрастает.

4. Определим точки экстремума.

Точка $$x = -8$$ является точкой максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус.

Точка $$x = 0$$ является точкой минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс.

5. Вычислим значения функции в точках экстремума.

$$y(-8) = (-8)^3 + 12(-8)^2 = -512 + 12 \cdot 64 = -512 + 768 = 256$$.

$$y(0) = (0)^3 + 12(0)^2 = 0$$.

6. Запишем промежутки монотонности.

Функция возрастает на промежутках $$(-\infty; -8]$$ и $$[0; +\infty)$$.

Функция убывает на промежутке $$[-8; 0]$$.

Ответ: Функция возрастает на $$(-\infty; -8]$$ и $$[0; +\infty)$$; убывает на $$[-8; 0]$$; точка максимума $$(-8; 256)$$; точка минимума $$(0; 0)$$.