5. Найдите радиус шара, который можно выплавить из трех медных шаров радиусов 3 см, 4 см и 5 см (рис. 5).

Ответ: 6 см

1. Найдем объемы трех шаров.
2. Объем шара с радиусом 3 см: \(V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi\)
3. Объем шара с радиусом 4 см: \(V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi\)
4. Объем шара с радиусом 5 см: \(V_3 = \frac{4}{3} \pi r_3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\)
5. Суммарный объем: \(V = V_1 + V_2 + V_3 = 36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = \frac{108 + 256 + 500}{3}\pi = \frac{864}{3}\pi = 288\pi\)
6. Найдем радиус шара с объемом \(V\).
7. Объем нового шара: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\)
8. \(288\pi = \frac{4}{3} \pi R^3\)
9. Умножим обе части на \(\frac{3}{4\pi}\): \(R^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot 288\pi = \frac{3 \cdot 288}{4} = 3 \cdot 72 = 216\)
10. Извлечем кубический корень: \(R = \sqrt[3]{216} = 6\)

Ответ: 6 см