3. Найдите расстояние от т. M до прямой AB

Пусть расстояние от точки M до прямой AB (то есть длина отрезка MB) равно \(x\). Тогда, по условию, \(AM - MB = 7\), следовательно, \(AM = x + 7\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABM\) угол \(\angle MAB = 30^\circ\). Используем тангенс угла \(\angle MAB\): \(\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}\) \(\tan(30^\circ) = \frac{MB}{AB}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{AB}\) \(AB = x\sqrt{3}\) Теперь рассмотрим тангенс угла \(\angle MAB\): $$\tan(30^\circ) = \frac{MB}{AB} = \frac{x}{AM} = \frac{MB}{AB}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{x+7}$$ $$x + 7 = x \sqrt{3}$$ $$7 = x \sqrt{3} - x$$ $$7 = x (\sqrt{3} - 1)$$ $$x = \frac{7}{\sqrt{3} - 1}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{3} + 1\): $$x = \frac{7(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{7(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{7(\sqrt{3} + 1)}{2}$$ Итак, расстояние от точки M до прямой AB равно \(\frac{7(\sqrt{3} + 1)}{2}\).