Найдите sin 2a, если cos a = \(\sqrt{\frac{7}{8}}\), a ∈ (\(\frac{3\pi}{2}\); 2π).

Решение:

Нам нужно найти

\[ \sin(2\alpha) \], если известно, что

\[ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{8}} \] и

\[ \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \].

Сначала вспомним формулу двойного угла для синуса:

\[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]

У нас уже есть значение

\[ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{8}} \]. Теперь нам нужно найти

\[ \sin(\alpha) \].

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставим значение

\[ \cos^2(\alpha) = \left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right)^2 = \frac{7}{8} \]:

\[ \sin^2(\alpha) + \frac{7}{8} = 1 \]

\[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Нам нужно определить знак

\[ \sin(\alpha) \]. По условию,

\[ \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \]. Это означает, что угол

\[ \alpha \] находится в IV координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Поэтому мы выбираем отрицательное значение для

\[ \sin(\alpha) \]:

\[ \sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим значения

\[ \sin(\alpha) \] и

\[ \cos(\alpha) \] в формулу двойного угла:

\[ \sin(2\alpha) = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \times \sqrt{\frac{7}{8}} \]

Упростим выражение:

\[ \sin(2\alpha) = -2 \times \frac{\sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} \]

\[ \sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \]

Сократим

\[ \sqrt{2} \]:

\[ \sin(2\alpha) = -\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{2} \]

\[ \sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{7}}{4} \]

Ответ: -

\[ \frac{\sqrt{7}}{4} \]