Найдите sina, если cosa = - 40/41, α ∈ (π/2; π).

Задача 5: Нахождение синуса по косинусу

Дано:

• \( \cos \alpha = -\frac{40}{41} \)
• \( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \) (угол \( \alpha \) находится во второй четверти)

Найти: \( \sin \alpha \)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
2. Подставим значение \( \cos \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \left( -\frac{40}{41} \right)^2 = 1 \]
3. Вычислим квадрат косинуса: \[ \sin^2 \alpha + \frac{1600}{1681} = 1 \]
4. Выразим \( \sin^2 \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1600}{1681} \]
5. Приведем к общему знаменателю: \[ \sin^2 \alpha = \frac{1681}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681} \]
6. Теперь найдем \( \sin \alpha \), извлекая квадратный корень: \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm \frac{9}{41} \]
7. Определим знак \( \sin \alpha \). Угол \( \alpha \) находится во второй четверти (от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \)). Во второй четверти синус имеет положительный знак.
8. Следовательно, \( \sin \alpha = +\frac{9}{41} \).

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{9}{41} \).