Найдите sina, если cosa = - 40/41, α ∈ (π/2; π).

Задание 10

Дано:

• \( \text{cos} α = -\frac{40}{41} \)
• \( α ∈ ​(\frac{\pi}{2}; \pi) \)

Найти: \( \text{sin} α \)

Решение:

Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

\[ \text{sin}^2α + \text{cos}^2α = 1 \]

Подставим известное значение \( \text{cos} α \):

\[ \text{sin}^2α + ​(-\frac{40}{41})^2 = 1 \]

\[ \text{sin}^2α + ​\frac{1600}{1681} = 1 \]

Теперь найдём \( \text{sin}^2α \):

\[ \text{sin}^2α = 1 - ​\frac{1600}{1681} \]

\[ \text{sin}^2α = ​\frac{1681}{1681} - ​\frac{1600}{1681} \]

\[ \text{sin}^2α = ​\frac{81}{1681} \]

Теперь извлечём квадратный корень:

\[ \text{sin} α = ​±​√​\frac{81}{1681} \]

\[ \text{sin} α = ​±​\frac{9}{41} \]

У нас есть два возможных значения для \( \text{sin} α \): \( \frac{9}{41} \) и \( -\frac{9}{41} \). Нам нужно выбрать правильное, исходя из условия, что \( α ∈ ​(\frac{\pi}{2}; \pi) \).

Угол \( α \) находится во втором квадранте (между \( \frac{\pi}{2} \) и \( β \)). Во втором квадранте синус положителен, а косинус отрицателен.

Так как \( \text{cos} α = -\frac{40}{41} \) (отрицательный), это согласуется с тем, что угол находится во втором квадранте. Следовательно, \( \text{sin} α \) должен быть положительным.

Выбираем положительное значение:

\[ \text{sin} α = ​\frac{9}{41} \]

Ответ: 9/41