697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB=17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, AC = 2; г) АС = 24, AB = 25.

а) Дано: BC = 8, AB = 17. Тогда, по теореме Пифагора, AC = \(\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\).

Синус, косинус и тангенс угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.471\)
• \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.882\)
• \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \approx 0.533\)

Синус, косинус и тангенс угла B:

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.882\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.471\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} = 1.875\)

б) Дано: BC = 21, AC = 20. Тогда, по теореме Пифагора, AB = \(\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\).

Синус, косинус и тангенс угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.724\)
• \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.690\)
• \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20} = 1.05\)

Синус, косинус и тангенс угла B:

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.690\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.724\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21} \approx 0.952\)

в) Дано: BC = 1, AC = 2. Тогда, по теореме Пифагора, AB = \(\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236\).

Синус, косинус и тангенс угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447\)
• \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894\)
• \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Синус, косинус и тангенс угла B:

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2\)

г) Дано: AC = 24, AB = 25. Тогда, по теореме Пифагора, BC = \(\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\).

Синус, косинус и тангенс угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\)
• \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\)
• \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \approx 0.292\)

Синус, косинус и тангенс угла B:

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \approx 3.429\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что для каждого угла синус и косинус лежат в диапазоне от 0 до 1, а тангенс может быть любым числом.

Доп. профит: База. Если знаешь две стороны прямоугольного треугольника, всегда можешь найти третью по теореме Пифагора. А зная все стороны, легко вычислить синус, косинус и тангенс любого из острых углов!