699 Найдите: a) sin a и tg a, если cos a=\frac{1}{2}; б) sin a и tg a, если cos a=\frac{3}{4}; в) cos a и tg a, если sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}; г) cos a и tg a, если sin a=\frac{1}{4}

a) Дано: \(\cos a = \frac{1}{2}\). Найти: \(\sin a\) и \(\tan a\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

Тогда \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Значит, \(\sin a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (т.к. рассматриваем острый угол)

Теперь найдем тангенс: \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

б) Дано: \(\cos a = \frac{3}{4}\). Найти: \(\sin a\) и \(\tan a\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

Тогда \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\)

Значит, \(\sin a = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) (т.к. рассматриваем острый угол)

Теперь найдем тангенс: \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}\)

в) Дано: \(\sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти: \(\cos a\) и \(\tan a\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

Тогда \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

Значит, \(\cos a = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\) (т.к. рассматриваем острый угол)

Теперь найдем тангенс: \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

г) Дано: \(\sin a = \frac{1}{4}\). Найти: \(\cos a\) и \(\tan a\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

Тогда \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\)

Значит, \(\cos a = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\) (т.к. рассматриваем острый угол)

Теперь найдем тангенс: \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что значения синуса и косинуса не превышают 1.

Доп. профит: Редфлаг. Не забывай, что для острых углов синус и косинус всегда положительны!