591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, AC = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Для решения задачи необходимо вспомнить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$, $$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$, $$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$. а) Дано: $$BC = 8$$, $$AB = 17$$. Тогда $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$. $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$, $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$, $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$$. $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$, $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$, $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$$. б) Дано: $$BC = 21$$, $$AC = 20$$. Тогда $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$. $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$, $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$, $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$$. $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$, $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$, $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$$. в) Дано: $$BC = 1$$, $$AC = 2$$. Тогда $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$. $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$, $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} = 0.5$$. $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$, $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$$. г) Дано: $$AC = 24$$, $$AB = 25$$. Тогда $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$$. $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28$$, $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96$$, $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \approx 0.2917$$. $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96$$, $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28$$, $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \approx 3.4286$$. Ответ: смотри решение.