Найдите стороны параллелограмма, если P = 36. 8) На рисунке параллелограмм QTRM; точка N лежит на QR, диагональный отрезок NT делит угол QTM пополам; RM = 1,5 RN.

Пусть RN = x, QN = y. Тогда QR = x + y, а QT = RM = 1,5x. Поскольку NT — биссектриса угла треугольника QTR, по теореме о биссектрисе \(QN/RN = QT/TR\). В параллелограмме TR = QM = QR = x + y, поэтому \(y/x = 1,5x/(x+y)\).

Обозначим \(t = y/x\). Получаем \(t(1+t)=1,5\), то есть \(t^2+t-1,5=0\). Положительное решение — t = 1, значит QN = RN и QR = 2x.

Из периметра: \(QR + QT = 18\), поэтому \(2x + 1,5x = 18\), откуда \(x = 36/7\). Тогда QR = 72/7, а QT = 54/7.

Ответ: QR = TM = 72/7; QT = RM = 54/7.