677. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$(x + 31)$$ см. Диагональ равна 41 см. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 31)^2 = 41^2$$

$$x^2 + x^2 + 62x + 961 = 1681$$

$$2x^2 + 62x - 720 = 0$$

$$x^2 + 31x - 360 = 0$$

$$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$$

$$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то подходит только $$x = 9$$. Тогда другая сторона равна $$9 + 31 = 40$$.

Ответ: 9 см и 40 см.