Найдите сумму двузначных чисел а и b, если известно, что НОК (a; b) = 105 и ab = 525.

Решение:

Воспользуемся свойством:

НОК(a, b) * НОД(a, b) = a * b

1. Находим НОД:
   \[ 105 \cdot \text{НОД}(a, b) = 525 \]
   \[ \text{НОД}(a, b) = \frac{525}{105} = 5 \]
2. Находим числа a и b:
   Так как НОД(a, b) = 5, то числа можно представить в виде a = 5x и b = 5y, где x и y - взаимно простые числа.
   Подставим в условие ab = 525:
   \[ (5x) \cdot (5y) = 525 \]
   \[ 25xy = 525 \]
   \[ xy = \frac{525}{25} = 21 \]
3. Пары взаимно простых чисел (x, y), произведение которых равно 21:
   Так как a и b - двузначные числа, то x и y должны быть такими, чтобы 5x и 5y были двузначными.
   Возможные пары (x, y): (1, 21) и (3, 7).
4. Проверяем двузначность чисел:
   Если (x, y) = (1, 21):
   a = 5 * 1 = 5 (однозначное)
   b = 5 * 21 = 105 (трехзначное)
   Эта пара не подходит.
   Если (x, y) = (3, 7):
   a = 5 * 3 = 15 (двузначное)
   b = 5 * 7 = 35 (двузначное)
   Эта пара подходит.
5. Находим сумму a + b:
   \[ 15 + 35 = 50 \]

Ответ: 50