Найдите сумму двузначных чисел а и в, если известно, что НОК (а; b) = 105 и ab = 525.

1. Связь НОК, НОД и произведения чисел:

Известно, что для любых двух натуральных чисел a и b верно соотношение:

НОК(a, b) $$\times$$ НОД(a, b) = a $$\times$$ b

Подставим известные значения:

$$105 \times$$ НОД(a, b) = $$525$$

Найдем НОД:

НОД(a, b) = $$\frac{525}{105} = 5$$.

2. Нахождение чисел a и b:

Мы знаем, что НОД(a, b) = 5. Это значит, что a и b можно представить в виде:

a = 5x

b = 5y

где x и y — взаимно простые числа (их НОД равен 1).

Также известно, что a и b — двузначные числа.

Подставим эти выражения в произведение:

$$(5x) \times (5y) = 525$$

$$25xy = 525$$

$$xy = \frac{525}{25} = 21$$

Теперь найдем пары взаимно простых множителей числа 21:

• $$x=1, y=21$$. Тогда $$a = 5 \times 1 = 5$$ (однозначное), $$b = 5 \times 21 = 105$$ (трехзначное). Этот вариант не подходит.
• $$x=3, y=7$$. Тогда $$a = 5 \times 3 = 15$$ (двузначное), $$b = 5 \times 7 = 35$$ (двузначное). Этот вариант подходит.

Проверим НОК для 15 и 35:

$$15 = 3 \times 5$$

$$35 = 5 \times 7$$

НОК(15, 35) = $$3 \times 5 \times 7 = 105$$. Условие выполняется.

3. Нахождение суммы:

Сумма чисел a и b = $$15 + 35 = 50$$.

Ответ: 50