3. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₃ = 36, b₅ = 81.

3. Дано: b₃ = 36, b₅ = 81. Необходимо найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии S₅.

Сначала найдем знаменатель q. Известно, что b₅ = b₃ * q²:

$$81 = 36 \cdot q^2$$

$$q^2 = \frac{81}{36} = \frac{9}{4}$$

$$q = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}$$

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: q = 3/2

Найдем b₁: b₃ = b₁ * q²

$$36 = b_1 \cdot (\frac{3}{2})^2 = b_1 \cdot \frac{9}{4}$$

$$b_1 = \frac{36 \cdot 4}{9} = 4 \cdot 4 = 16$$

Теперь найдем S₅:

$$S_5 = \frac{16(1 - (\frac{3}{2})^5)}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{16(1 - \frac{243}{32})}{-\frac{1}{2}} = -32(1 - \frac{243}{32}) = -32(\frac{32 - 243}{32}) = -32(\frac{-211}{32}) = 211$$

Случай 2: q = -3/2

Найдем b₁: b₃ = b₁ * q²

$$36 = b_1 \cdot (-\frac{3}{2})^2 = b_1 \cdot \frac{9}{4}$$

$$b_1 = \frac{36 \cdot 4}{9} = 4 \cdot 4 = 16$$

Теперь найдем S₅:

$$S_5 = \frac{16(1 - (-\frac{3}{2})^5)}{1 - (-\frac{3}{2})} = \frac{16(1 - (-\frac{243}{32}))}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{16(1 + \frac{243}{32})}{\frac{5}{2}} = \frac{32}{5} (1 + \frac{243}{32}) = \frac{32}{5} (\frac{32 + 243}{32}) = \frac{275}{5} = 55$$

Ответ: 211 или 55