3. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если b2= 4, b4= 1.

Известно, что \(b_2 = b_1q = 4\) и \(b_4 = b_1q^3 = 1\). Разделим второе уравнение на первое: \[\frac{b_1q^3}{b_1q} = \frac{1}{4}\] \[q^2 = \frac{1}{4}\] \[q = \pm \frac{1}{2}\] Рассмотрим два случая: Случай 1: \(q = \frac{1}{2}\) Тогда \(b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\) Сумма первых шести членов: \[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = 16(1 - \frac{1}{64}) = 16 \cdot \frac{63}{64} = \frac{63}{4} = 15.75\] Случай 2: \(q = -\frac{1}{2}\) Тогда \(b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8\) Сумма первых шести членов: \[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{-8(1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-8(1 - \frac{1}{64})}{\frac{3}{2}} = \frac{-16}{3} \cdot \frac{63}{64} = -\frac{16 \cdot 63}{3 \cdot 64} = -\frac{63}{12} = -\frac{21}{4} = -5.25\] Ответ: 15.75 или -5.25