10. Найдите tgα, если $$ \frac{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha + 2}{\sin \alpha + 3 \cos \alpha + 6} = \frac{1}{3} $$

Дано уравнение:

$$ \frac{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha + 2}{\sin \alpha + 3 \cos \alpha + 6} = \frac{1}{3} $$

Умножим обе части уравнения на $$3(\sin \alpha + 3 \cos \alpha + 6)$$:

$$ 3(3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha + 2) = \sin \alpha + 3 \cos \alpha + 6 $$

Раскроем скобки:

$$ 9 \sin \alpha - 15 \cos \alpha + 6 = \sin \alpha + 3 \cos \alpha + 6 $$

Перенесем все члены с синусами и косинусами в одну сторону:

$$ 9 \sin \alpha - \sin \alpha = 3 \cos \alpha + 15 \cos \alpha $$ $$ 8 \sin \alpha = 18 \cos \alpha $$

Разделим обе части уравнения на $$8 \cos \alpha$$:

$$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{18}{8} $$

Упростим дробь:

$$ \tan \alpha = \frac{9}{4} = 2.25 $$

Ответ: 2.25