Найдите tg 2α, если cosα = \frac{2\sqrt{6}}{5} и \frac{3π}{2} < α < 2π.

Решение:

Сначала найдем sin α. Так как \(\frac{3π}{2} < α < 2π\), то α находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 α + \cos^2 α = 1\] \[\sin^2 α = 1 - \cos^2 α\] \[\sin^2 α = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2\] \[\sin^2 α = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25}\] \[\sin^2 α = 1 - \frac{24}{25}\] \[\sin^2 α = \frac{1}{25}\]

Поскольку синус отрицателен в четвертой четверти:

\[\sin α = -\frac{1}{5}\]

Теперь найдем tg α:

\[\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}\]

Используем формулу для тангенса двойного угла:

\[\tan 2α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^2 α}\] \[\tan 2α = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2}\] \[\tan 2α = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}}\] \[\tan 2α = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}}\] \[\tan 2α = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}}\] \[\tan 2α = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23}\] \[\tan 2α = -\frac{4\sqrt{6}}{23}\]

Ответ: -\frac{4\sqrt{6}}{23}