Решите неравенство \frac{x²+2x+1}{x²-4x-5}≥0.

Решим неравенство:

$$\frac{x^2+2x+1}{x^2-4x-5} \geq 0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{(x+1)^2}{x^2-4x-5} \geq 0$$

Найдем корни знаменателя:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4+6}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4-6}{2} = -1$$

Знаменатель можно разложить на множители так:

$$x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$$

Тогда неравенство можно переписать как:

$$\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0$$

Сократим дробь на (x+1), но учтем, что x ≠ -1:

$$\frac{x+1}{x-5} \geq 0, x ≠ -1$$

Решим неравенство методом интервалов:

На числовой прямой отметим точки -1 и 5. Рассмотрим знаки на интервалах:

      +              -              +
--------------------]--------------------(
            -1                      5

Решение неравенства:

$$x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -1] \cup (5, +\infty)$$

В нашем случае x = -1 - корень числителя. Значит нужно убрать промежуток (-1, -1], а оставить только точку x = -1.

Таким образом, решение неравенства будет:

$$x = -1 \cup (5, +\infty)$$

Ответ: x = -1 и x > 5