10. Найдите tg 2α, если cos α = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\frac{3π}{2} < α < 2π\).

Дано: \[\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\] \[\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\] Нужно найти: \[\tan 2\alpha\] Решение: 1. Определим знак \(\sin \alpha\) в заданном интервале. Так как \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), угол \(\alpha\) находится в четвертой четверти, где \(\sin \alpha < 0\). 2. Найдем \(\sin \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25}\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{24}{25}\] \[\sin^2 \alpha = \frac{1}{25}\] \[\sin \alpha = \pm \frac{1}{5}\] Так как \(\sin \alpha < 0\), выбираем отрицательное значение: \[\sin \alpha = -\frac{1}{5}\] 3. Найдем \(\tan \alpha\): \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}}\] \[\tan \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}\] 4. Найдем \(\tan 2\alpha\) используя формулу двойного угла: \[\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\] \[\tan 2\alpha = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2}\] \[\tan 2\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}}\] \[\tan 2\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}}\] \[\tan 2\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}}\] \[\tan 2\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23}\] \[\tan 2\alpha = -\frac{4\sqrt{6}}{23}\] Ответ: \[\tan 2\alpha = -\frac{4\sqrt{6}}{23}\] Ответ: -\(\frac{4\sqrt{6}}{23}\)