10. Найдите $$tg 2\alpha$$, если $$cos \alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$ и $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$.

Используем формулу $$tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$$. Сначала найдем $$sin \alpha$$. Из основного тригонометрического тождества $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$ имеем: $$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{4\sqrt{3}}{7})^2 = 1 - \frac{16*3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$$ $$sin \alpha = \pm \frac{1}{7}$$ Так как $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, то $$sin \alpha > 0$$, значит $$sin \alpha = \frac{1}{7}$$. Теперь найдем $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12}$$. $$tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = \frac{2 * \frac{\sqrt{3}}{12}}{1 - (\frac{\sqrt{3}}{12})^2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{3}{144}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{1}{48}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{47}{48}} = \frac{\sqrt{3}}{6} * \frac{48}{47} = \frac{8\sqrt{3}}{47}$$. Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{47}$$