16. Найдите tga, если cos a = \frac{1}{\sqrt{17}} и 270° < α < 360°

Дано: $$cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$$, $$270^\circ < \alpha < 360^\circ$$

Найти: $$tg \alpha$$

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: $$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$.
2. Выразим $$sin^2\alpha$$: $$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$$
3. Подставим значение косинуса: $$sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{17}})^2 = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17}$$
4. Найдем синус: $$sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{17}} = \pm \frac{4}{\sqrt{17}}$$.
5. Т.к. $$270^\circ < \alpha < 360^\circ$$, то угол находится в 4 четверти, где синус отрицательный. Поэтому $$sin \alpha = -\frac{4}{\sqrt{17}}$$.
6. Тангенс угла: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$
7. Подставим значения синуса и косинуса: $$tg \alpha = \frac{-\frac{4}{\sqrt{17}}}{\frac{1}{\sqrt{17}}} = -\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{1} = -4$$

Ответ: -4