Найдите точки экстремума функции f(x) = 2x³ - 3x² - 1.

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Найдём производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 1) \)

\( f'(x) = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 \)

\( f'(x) = 6x^2 - 6x \)

Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\( 6x^2 - 6x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 6x \):

\( 6x(x - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два значения \( x \):

\( 6x = 0 \implies x_1 = 0 \)

\( x - 1 = 0 \implies x_2 = 1 \)

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используя вторую производную.

Найдём вторую производную:

\( f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) \)

\( f''(x) = 6 \cdot 2x^{2-1} - 6 \)

\( f''(x) = 12x - 6 \)

Проверим значение второй производной в критических точках:

Для \( x_1 = 0 \): \( f''(0) = 12(0) - 6 = -6 \). Так как \( f''(0) < 0 \), в точке \( x = 0 \) — точка максимума.

Для \( x_2 = 1 \): \( f''(1) = 12(1) - 6 = 6 \). Так как \( f''(1) > 0 \), в точке \( x = 1 \) — точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

\( f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1 \)

\( f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = 2 - 3 - 1 = -2 \)

Ответ: Точка максимума: \( x=0 \), \( f(0)=-1 \). Точка минимума: \( x=1 \), \( f(1)=-2 \).