Найдите все первообразные функции f(x) = x⁴ + 3x² + 5.

Решение:

Первообразная находится путем интегрирования функции.

\( F(x) = \int f(x) dx = \int (x^4 + 3x^2 + 5) dx \)

Используем свойство линейности интеграла и правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( F(x) = \int x^4 dx + \int 3x^2 dx + \int 5 dx \)

\( F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 5x + C \)

\( F(x) = \frac{x^5}{5} + 3 \frac{x^3}{3} + 5x + C \)

\( F(x) = \frac{x^5}{5} + x^3 + 5x + C \)

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = \frac{x^5}{5} + x^3 + 5x + C \).