Найдите точки экстремума функции и определите их характер: $$y = 9x^2 - x^3$$

Для нахождения точек экстремума функции $$y = 9x^2 - x^3$$ необходимо: 1. Найти первую производную функции. 2. Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение, чтобы найти критические точки. 3. Найти вторую производную функции. 4. Определить знак второй производной в каждой критической точке. Если вторая производная положительна, то в этой точке минимум, если отрицательна - максимум. Найдем первую производную: $$y' = (9x^2 - x^3)' = 18x - 3x^2$$ Приравняем первую производную к нулю: $$18x - 3x^2 = 0$$ $$3x(6 - x) = 0$$ Отсюда находим критические точки: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 6$$. Найдем вторую производную: $$y'' = (18x - 3x^2)' = 18 - 6x$$ Определим знак второй производной в каждой критической точке: Для $$x_1 = 0$$: $$y''(0) = 18 - 6(0) = 18 > 0$$ Так как вторая производная положительна, то в точке $$x_1 = 0$$ функция имеет минимум. Для $$x_2 = 6$$: $$y''(6) = 18 - 6(6) = 18 - 36 = -18 < 0$$ Так как вторая производная отрицательна, то в точке $$x_2 = 6$$ функция имеет максимум. Найдем значения функции в точках экстремума: Для $$x_1 = 0$$: $$y(0) = 9(0)^2 - (0)^3 = 0$$ Для $$x_2 = 6$$: $$y(6) = 9(6)^2 - (6)^3 = 9(36) - 216 = 324 - 216 = 108$$ Таким образом, функция имеет минимум в точке $$(0, 0)$$ и максимум в точке $$(6, 108)$$. Ответ: Точка минимума: (0, 0), точка максимума: (6, 108)