Найдите точку максимума функции $$f(x) = 4 \ln x - x + 9$$.

Для нахождения точки максимума функции $$f(x) = 4 \ln x - x + 9$$, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. $$f'(x) = \frac{4}{x} - 1$$ 2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$\frac{4}{x} - 1 = 0$$. $$\frac{4}{x} = 1$$ $$x = 4$$ 3. Определить знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим два интервала: $$(0, 4)$$, $$(4, +\infty)$$. * На интервале $$(0, 4)$$, возьмем $$x = 1$$: $$f'(1) = \frac{4}{1} - 1 = 4 - 1 = 3 > 0$$, функция возрастает. * На интервале $$(4, +\infty)$$, возьмем $$x = 5$$: $$f'(5) = \frac{4}{5} - 1 = -\frac{1}{5} < 0$$, функция убывает. 4. Определить точку максимума. В точке $$x = 4$$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Ответ: 4