Найдите точку максимума функции $$y=\frac{x^2+9}{x}$$.

Для нахождения точки максимума функции $$y=\frac{x^2+9}{x}$$, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. Сначала преобразуем функцию: $$y = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x} = x + 9x^{-1}$$. Теперь найдем производную: $$y' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$$. 2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$1 - \frac{9}{x^2} = 0$$. $$1 = \frac{9}{x^2}$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ 3. Определить знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим три интервала: $$(-\infty, -3)$$, $$(-3, 3)$$, $$(3, +\infty)$$. * На интервале $$(-\infty, -3)$$, возьмем $$x = -4$$: $$y'(-4) = 1 - \frac{9}{(-4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$, функция возрастает. * На интервале $$(-3, 0)$$, возьмем $$x = -1$$: $$y'(-1) = 1 - \frac{9}{(-1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$$, функция убывает. * На интервале $$(0, 3)$$, возьмем $$x = 1$$: $$y'(1) = 1 - \frac{9}{(1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$$, функция убывает. * На интервале $$(3, +\infty)$$, возьмем $$x = 4$$: $$y'(4) = 1 - \frac{9}{(4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$, функция возрастает. 4. Определить точку максимума. В точке $$x = -3$$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. В точке $$x = 3$$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. Также необходимо учесть, что в точке $$x=0$$ функция не определена. Ответ: -3