Найдите точку максимума функции y = ln(x - 7) - 2x - 3.

Решение:

Чтобы найти точку максимума, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Производная функции \( y = \ln(x - 7) - 2x - 3 \) равна:

\[ y' = \frac{d}{dx}(\ln(x - 7)) - \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3) \]

\[ y' = \frac{1}{x - 7} - 2 - 0 \]

\[ y' = \frac{1}{x - 7} - 2 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ \frac{1}{x - 7} - 2 = 0 \]

\[ \frac{1}{x - 7} = 2 \]

\[ 1 = 2(x - 7) \]

\[ 1 = 2x - 14 \]

\[ 2x = 15 \]

\[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдём вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x - 7} - 2) = \frac{d}{dx}((x - 7)^{-1}) - \frac{d}{dx}(2) \]

\[ y'' = -1(x - 7)^{-2} \cdot 1 - 0 \]

\[ y'' = -\frac{1}{(x - 7)^2} \]

Подставим \( x = 7.5 \) во вторую производную:

\[ y''(7.5) = -\frac{1}{(7.5 - 7)^2} = -\frac{1}{(0.5)^2} = -\frac{1}{0.25} = -4 \]

Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x = 7.5 \) функция имеет максимум.

Найдем значение \( y \) в этой точке:

\[ y(7.5) = \ln(7.5 - 7) - 2(7.5) - 3 \]

\[ y(7.5) = \ln(0.5) - 15 - 3 \]

\[ y(7.5) = \ln(\frac{1}{2}) - 18 \]

\[ y(7.5) = -\ln(2) - 18 \]

Точка максимума имеет координаты \( (7.5, -\ln(2) - 18) \).

Ответ: \( (7.5, -\ln(2) - 18) \).