Найдите точку минимума функции у = x²-28x+96-Inx + 31

Ответ: 14.18

Разберемся:

1. Найдем производную функции:

y = x²-28x+96-lnx + 31

y' = 2x - 28 - \(\frac{1}{x}\)

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

2x - 28 - \(\frac{1}{x}\) = 0

Умножим на х обе части уравнения:

2x² - 28x - 1 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-28)² - 4*2*(-1) = 784 + 8 = 792

x_1,2 = \(\frac{28 \pm \sqrt{792}}{4}\)

x₁ = \(\frac{28 + \sqrt{792}}{4}\) \(\approx\) 14.18

x₂ = \(\frac{28 - \sqrt{792}}{4}\) \(\approx\) -0.035

3. Определим знак производной на интервалах:

Так как x > 0 (из-за ln x), то рассматриваем только положительные значения.

При x = 1, y' = 2 - 28 - 1 = -27 (отрицательное значение)

При x = 15, y' = 30 - 28 - \(\frac{1}{15}\) (положительное значение)

Следовательно, x = 14.18 - точка минимума.

Ответ: 14.18