Найдите точку минимума функции y=(1-2x) cosx + 2 sinx+7, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Смотри, как это работает: чтобы найти точку минимума функции на заданном промежутке, нужно сначала найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение. Затем проверим, какие из полученных точек попадают в заданный промежуток, и найдём значение функции в этих точках и на концах промежутка. Найдём производную функции: \[y' = (1-2x)' \cdot cosx + (1-2x) \cdot (cosx)' + 2(sinx)' + (7)'\] \[y' = -2cosx + (1-2x)(-sinx) + 2cosx + 0\] \[y' = -2cosx - sinx + 2xsinx + 2cosx\] \[y' = 2xsinx - sinx\] \[y' = sinx(2x - 1)\] Приравняем производную к нулю: \[sinx(2x - 1) = 0\] Отсюда либо sinx = 0, либо 2x - 1 = 0. 1. sinx = 0. На промежутке (0; π/2) это не выполняется. 2. 2x - 1 = 0 \[2x = 1\] \[x = \frac{1}{2}\] Теперь проверим, принадлежит ли эта точка промежутку (0; π/2). Так как π ≈ 3,14, то π/2 ≈ 1,57. Значит, x = 1/2 принадлежит этому промежутку. Теперь найдём значение функции в этой точке: \[y(\frac{1}{2}) = (1 - 2 \cdot \frac{1}{2})cos(\frac{1}{2}) + 2sin(\frac{1}{2}) + 7\] \[y(\frac{1}{2}) = (1 - 1)cos(\frac{1}{2}) + 2sin(\frac{1}{2}) + 7\] \[y(\frac{1}{2}) = 0 + 2sin(\frac{1}{2}) + 7\] \[y(\frac{1}{2}) = 2sin(\frac{1}{2}) + 7\] Чтобы убедиться, что это точка минимума, нужно проверить знаки производной слева и справа от этой точки. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума. Возьмём точку x = 0,4 (слева от 1/2) и x = 0,6 (справа от 1/2). 1. Для x = 0,4: \[y'(0,4) = sin(0,4)(2 \cdot 0,4 - 1) = sin(0,4)(0,8 - 1) = sin(0,4)(-0,2)\] Так как sin(0,4) > 0, то y'(0,4) < 0. 2. Для x = 0,6: \[y'(0,6) = sin(0,6)(2 \cdot 0,6 - 1) = sin(0,6)(1,2 - 1) = sin(0,6)(0,2)\] Так как sin(0,6) > 0, то y'(0,6) > 0. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, x = 1/2 — точка минимума.

Ответ: 0,5