12. Найдите точку минимума функции y= (x+3)²(x+5)-1.

Шаг 1: Найдем производную функции.

\[y = (x+3)^2(x+5)-1\]

Раскроем скобки:

\[y = (x^2 + 6x + 9)(x+5) - 1\]

\[y = x^3 + 5x^2 + 6x^2 + 30x + 9x + 45 - 1\]

\[y = x^3 + 11x^2 + 39x + 44\]

Найдем производную:

\[y' = 3x^2 + 22x + 39\]

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем корни.

\[3x^2 + 22x + 39 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 39 = 484 - 468 = 16\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-22 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 4}{6} = \frac{-18}{6} = -3\]

\[x_2 = \frac{-22 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 4}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}\]

Шаг 3: Определим точку минимума.

Найдем вторую производную:

\[y'' = 6x + 22\]

• Подставим x = -3:

\[y''(-3) = 6(-3) + 22 = -18 + 22 = 4 > 0\]

Значит, x = -3 является точкой минимума.