Найдите точку пересечения прямых: 4x - 3y = -14 3x + 2y = 12

Решение:

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($$x$$ и $$y$$).

1. Выбираем метод решения:

   Удобнее всего здесь использовать метод сложения, но сначала нужно привести коэффициенты при одной из переменных к противоположным значениям. Давай сделаем так, чтобы коэффициенты при $$y$$ стали противоположными. Для этого первое уравнение умножим на 2, а второе — на 3:

   • Первое уравнение:
     \[ 2(4x - 3y) = 2(-14) \]
     \[ 8x - 6y = -28 \]
   • Второе уравнение:
     \[ 3(3x + 2y) = 3(12) \]
     \[ 9x + 6y = 36 \]
2. Складываем уравнения:

   Теперь сложим полученные уравнения:

   • \[ (8x - 6y) + (9x + 6y) = -28 + 36 \]
   • \[ 17x = 8 \]
   • \[ x = \frac{8}{17} \]
3. Находим $$y$$:

   Подставим найденное значение $$x = \frac{8}{17}$$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение: $$3x + 2y = 12$$.

   • \[ 3\bigg(\frac{8}{17}\bigg) + 2y = 12 \]
   • \[ \frac{24}{17} + 2y = 12 \]
   • \[ 2y = 12 - \frac{24}{17} \]
   • \[ 2y = \frac{12 \times 17}{17} - \frac{24}{17} \]
   • \[ 2y = \frac{204 - 24}{17} \]
   • \[ 2y = \frac{180}{17} \]
   • \[ y = \frac{180}{17 \times 2} \]
   • \[ y = \frac{90}{17} \]

Проверка:
Подставим $$x = \frac{8}{17}$$ и $$y = \frac{90}{17}$$ в первое уравнение: $$4x - 3y = -14$$.
\[ 4\bigg(\frac{8}{17}\bigg) - 3\bigg(\frac{90}{17}\bigg) = \frac{32}{17} - \frac{270}{17} = \frac{32 - 270}{17} = \frac{-238}{17} \]
Разделим -238 на 17: -238 / 17 = -14. (Верно!)

Ответ: Точка пересечения имеет координаты $$\bigg(\frac{8}{17}, \frac{90}{17}\bigg)$$.