Решите систему уравнений: 1/x - 2/y = -1 2/x + 1/y = 8

Решение:

Давай решим эту систему уравнений шаг за шагом!

1. Обозначим переменные:

   Чтобы упростить, давай сделаем замену: пусть $$u = \frac{1}{x}$$ и $$v = \frac{1}{y}$$. Тогда наша система будет выглядеть так:

   • \[ \begin{cases} u - 2v = -1 \\ 2u + v = 8 \end{cases} \]
2. Решаем новую систему:

   Теперь у нас есть более простая система с переменными $$u$$ и $$v$$. Мы можем решить ее методом подстановки или сложения. Давай воспользуемся методом сложения:

   1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $$v$$ стали противоположными:
   • \[ 2(2u + v) = 2(8) \]
   • \[ 4u + 2v = 16 \]
   2. Теперь сложим первое уравнение ($$u - 2v = -1$$) с новым вторым уравнением ($$4u + 2v = 16$$):
   • \[ (u - 2v) + (4u + 2v) = -1 + 16 \]
   • \[ 5u = 15 \]
   • \[ u = \frac{15}{5} \]
   • \[ u = 3 \]
   3. Подставим найденное значение $$u = 3$$ в любое из уравнений системы. Возьмем второе уравнение $$2u + v = 8$$:
   • \[ 2(3) + v = 8 \]
   • \[ 6 + v = 8 \]
   • \[ v = 8 - 6 \]
   • \[ v = 2 \]
3. Возвращаемся к исходным переменным:

   Мы нашли, что $$u = 3$$ и $$v = 2$$. Теперь вспомним, что $$u = \frac{1}{x}$$ и $$v = \frac{1}{y}$$:

   • \[ \frac{1}{x} = 3 \rightarrow x = \frac{1}{3} \]
   • \[ \frac{1}{y} = 2 \rightarrow y = \frac{1}{2} \]

Проверка:
Подставим найденные значения $$x = \frac{1}{3}$$ и $$y = \frac{1}{2}$$ в исходные уравнения:
1) $$\frac{1}{1/3} - \frac{2}{1/2} = 3 - 4 = -1$$ (Верно!)
2) $$\frac{2}{1/3} + \frac{1}{1/2} = 6 + 2 = 8$$ (Верно!)

Ответ: $$x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}$$