Решите систему уравнений: 1/x + 1/y = -1 2/x - 1/y = 7

Решение:

Давай решим эту систему уравнений, как настоящие математики!

1. Обозначим переменные:

   Сделаем замену, чтобы было удобнее: пусть $$u = \frac{1}{x}$$ и $$v = \frac{1}{y}$$. Наша система теперь выглядит так:

   • \[ \begin{cases} u + v = -1 \\ 2u - v = 7 \end{cases} \]
2. Решаем новую систему:

   Используем метод сложения. Обрати внимание, что коэффициенты при $$v$$ уже противоположные (+1 и -1). Просто сложим оба уравнения:

   • \[ (u + v) + (2u - v) = -1 + 7 \]
   • \[ 3u = 6 \]
   • \[ u = \frac{6}{3} \]
   • \[ u = 2 \]
3. Теперь подставим $$u = 2$$ в первое уравнение ($$u + v = -1$$):
• \[ 2 + v = -1 \]
• \[ v = -1 - 2 \]
• \[ v = -3 \]
4. Возвращаемся к исходным переменным:

   Мы получили $$u = 2$$ и $$v = -3$$. Вспомним наши замены: $$u = \frac{1}{x}$$ и $$v = \frac{1}{y}$$:

   • \[ \frac{1}{x} = 2 \rightarrow x = \frac{1}{2} \]
   • \[ \frac{1}{y} = -3 \rightarrow y = -\frac{1}{3} \]

Проверка:
Подставим $$x = \frac{1}{2}$$ и $$y = -\frac{1}{3}$$ в исходные уравнения:
1) $$\frac{1}{1/2} + \frac{1}{-1/3} = 2 + (-3) = -1$$ (Верно!)
2) $$\frac{2}{1/2} - \frac{1}{-1/3} = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$$ (Верно!)

Ответ: $$x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3}$$