Найдите третий член убывающей геометрической прогрессии, если второй её член равен 98, а четвёртый равен 2.

Решение:

1. Обозначим члены прогрессии: Пусть второй член — \( b_2 = 98 \), четвертый член — \( b_4 = 2 \).
2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \times q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии.
3. Запишем систему уравнений:
   \[ \begin{cases} b_2 = b_1 \times q = 98 \\ b_4 = b_1 \times q^3 = 2 \end{cases} \]
4. Найдем знаменатель прогрессии (q): Разделим второе уравнение на первое:
   \[ \frac{b_1 \times q^3}{b_1 \times q} = \frac{2}{98} \]
   \[ q^2 = \frac{1}{49} \]
   \[ q = \pm \sqrt{\frac{1}{49}} = \pm \frac{1}{7} \]
5. Учитываем условие убывания прогрессии: Для убывающей прогрессии знаменатель должен быть меньше 1, но больше -1. Значит, \( q = \frac{1}{7} \) или \( q = -\frac{1}{7} \).
6. Найдем первый член (b1), если q = 1/7:
   \[ b_1 = \frac{98}{q} = \frac{98}{\frac{1}{7}} = 98 \times 7 = 686 \]
7. Найдем третий член (b3), если q = 1/7:
   \[ b_3 = b_2 \times q = 98 \times \frac{1}{7} = 14 \]
8. Найдем первый член (b1), если q = -1/7:
   \[ b_1 = \frac{98}{q} = \frac{98}{-\frac{1}{7}} = 98 \times (-7) = -686 \]
9. Найдем третий член (b3), если q = -1/7:
   \[ b_3 = b_2 \times q = 98 \times (-\frac{1}{7}) = -14 \]
10. Проверяем условие убывания:
    Если \( q = \frac{1}{7} \), прогрессия: 686, 98, 14, 2. Она убывающая.
    Если \( q = -\frac{1}{7} \), прогрессия: -686, 98, -14, 2. Она не является строго убывающей (знаки чередуются).

Ответ: 14