6. Найдите целые решения системы неравенств ((x+2)(x+3)-x(x+1) ≥ 3x + 3, 5x-3<2x + 1.

\(\{(x+2)(x+3)-x(x+1) \ge 3x + 3, \\ 5x-3 < 2x + 1\}\)

• Раскрываем скобки в первом неравенстве: \(x^2 + 5x + 6 - x^2 - x \ge 3x + 3\)
• Упрощаем первое неравенство: \(4x + 6 \ge 3x + 3\)
• Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \(4x - 3x \ge 3 - 6\)
• Получаем: \(x \ge -3\)
• Решаем второе неравенство: \(5x - 3 < 2x + 1\)
• Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую: \(5x - 2x < 1 + 3\)
• Упрощаем: \(3x < 4\)
• Делим на 3: \(x < \frac{4}{3}\)
• Ищем целые решения: \(x < 1\frac{1}{3}\), значит, x < 1.333...

Целые значения x, удовлетворяющие обоим неравенствам: -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1