3) Найдите углы <AMD, <DMK, <AMK, если <DAM=5x, <AMK=4x, угол AMH прямой.

Так как угол \(AMH\) прямой, то \(\angle AMH = 90^\circ\).

Угол \(AMK\) известен: \(\angle AMK = 4x\).

Угол \(DMK\) является смежным с углом \(AMK\). Значит:

$$ \angle AMK + \angle DMK = 180^\circ $$

$$ \angle DMK = 180^\circ - \angle AMK = 180^\circ - 4x $$

Теперь рассмотрим треугольник \(AMD\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

$$ \angle DAM + \angle AMD + \angle ADM = 180^\circ $$

Угол \(\angle DAM = 5x\).

Чтобы найти \(\angle AMD\), нам нужно знать \(\angle ADM\), но он не дан. Можем только выразить \(\angle AMD\) через \(x\) и \(\angle ADM\):

$$ \angle AMD = 180^\circ - 5x - \angle ADM $$

Но так как угол \(AMH\) прямой, и \(M\) находится на прямой \(HK\), то угол \(\angle AMK = 4x\) - острый. Значит, \(4x < 90^\circ\), или \(x < 22.5^\circ\).

Ответ:

$$ \angle AMD = 180^\circ - 5x - \angle ADM $$

$$ \angle DMK = 180^\circ - 4x $$

$$ \angle AMK = 4x $$