10. Найдите углы трапеции KMTN, если известно, что ∠K=90°, ∠S=70°, KS=SM=MT.

Трапеция KMTN с прямым углом K (∠K = 90°). KS = SM = MT, и ∠S = 70°.

Поскольку SM = MT, треугольник SMT - равнобедренный. Следовательно, углы при основании ST равны: ∠MST = ∠MTS.

Сумма углов в треугольнике SMT равна 180°. Следовательно, ∠MST + ∠MTS + ∠SMT = 180°. Так как ∠MST = ∠MTS, можно записать: 2∠MST + ∠SMT = 180°. ∠SMT=70°, тогда 2∠MST = 180° - 70° = 110°. ∠MST = ∠MTS = 55°.

Так как трапеция, то KN || MT, и углы KMT и K должны быть в сумме 180 градусов. Значит, угол M в трапеции будет 180-90 = 90°.

∠M= ∠SMT + ∠T=90°.

∠T=90°-∠SMT=90°-55°=35°.

В четырехугольнике сумма всех углов 360°. ∠N=360°-∠K-∠M-∠T=360°-90°-70°-35°=165°.