1049. Найдите углы треугольника с вершинами A(-1; √3), B(1; -√3) и C(1/2; √3).

Для решения задачи 1049, нам нужно найти углы треугольника ABC. Сначала найдем стороны треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$. Сторона AB: $$\sqrt{(1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$. Сторона BC: $$\sqrt{(\frac{1}{2} - 1)^2 + (\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5$$. Сторона AC: $$\sqrt{(\frac{1}{2} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (0)^2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$$. Теперь найдем углы, используя теорему косинусов: $$cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$. Угол A: $$cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 * AB * AC} = \frac{(4)^2 + (1.5)^2 - (3.5)^2}{2 * 4 * 1.5} = \frac{16 + 2.25 - 12.25}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$. $$A = arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$$. Угол B: $$cos(B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 * AB * BC} = \frac{(4)^2 + (3.5)^2 - (1.5)^2}{2 * 4 * 3.5} = \frac{16 + 12.25 - 2.25}{28} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$$. $$B = arccos(\frac{13}{14}) \approx 21.79^\circ$$. Угол C: $$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 21.79^\circ \approx 98.21^\circ$$. Ответ: $$A = 60^\circ$$, $$B \approx 21.79^\circ$$, $$C \approx 98.21^\circ$$