10. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О -центр окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 140°.

Дано: угол $$АСО$$, $$СА$$ касается окружности, $$О$$ - центр окружности, дуга $$AD = 140^{\circ}$$.

Найдем угол $$АСО$$.

Угол $$AOD$$ - центральный угол, опирающийся на дугу $$AD$$. Следовательно, угол $$AOD$$ равен градусной мере дуги $$AD$$: $$ \angle AOD = 140^{\circ} $$.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. $$OA = OD$$ как радиусы окружности. Значит, треугольник $$AOD$$ равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: $$\angle OAD = \angle ODA = \frac{180^{\circ} - 140^{\circ}}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} $$.

$$CA$$ - касательная к окружности, значит, угол $$OAC$$ равен 90°: $$\angle OAC = 90^{\circ} $$.

Тогда угол $$CAO$$ равен $$90^{\circ}$$. $$ \angle CAO = \angle OAD + \angle DAC $$. Отсюда, $$\angle DAC = \angle CAO - \angle OAD = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} $$.

Сумма углов треугольника $$АСО$$ равна $$180^{\circ}$$. Значит, $$\angle AOC + \angle ACO + \angle CAO = 180^{\circ} $$. $$\angle AOC = 140 $$. $$\angle ACO = 180 - 90 - 20 = 70 $$. Тогда $$\angle ACO = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle DAC) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ} $$.

Ответ: 20