521. Найдите угол между радиусами ОА И ОВ окружности, если расстояние от центра О окружности до хорды АВ в 2 раза меньше: 1) длины хорды АВ.

Пусть O - центр окружности, AB - хорда, OM - расстояние от центра до хорды. По условию, OM = AB / 2. 1) Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). OM является высотой, медианой и биссектрисой треугольника AOB. Следовательно, AM = MB = AB / 2. Значит, OM = AM = AB / 2. В прямоугольном треугольнике AOM, sin(∠AOM) = AM / OA. Так как OA = R, AM = AB / 2, и OM = AB / 2, выразим AB через OM: AB = 2 * OM. Также, AM = AB / 2 = (2 * OM) / 2 = OM. Подставим это в sin(∠AOM) = AM / OA = OM / R. В треугольнике AOM имеем $$AM^2 + OM^2 = OA^2$$, то есть $$OM^2 + OM^2 = R^2$$, откуда $$2OM^2 = R^2$$ и $$R = OM\sqrt{2}$$. Тогда $$sin(∠AOM) = \frac{OM}{OM\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Следовательно, ∠AOM = 45°. Тогда ∠AOB = 2 * ∠AOM = 2 * 45° = 90°. Ответ: Угол между радиусами ОА и ОВ равен **90°**.