4. Найдите ускорение свободного падения на высоте, равной четверти радиуса Земли. Дано:

Дано:

• Высота $$h = \frac{1}{4}R_З$$, где $$R_З$$ - радиус Земли
• Ускорение свободного падения на поверхности Земли $$g = 9.81 \frac{м}{с^2}$$

Найти: ускорение свободного падения на высоте h ($$g_h$$)

Решение:

Ускорение свободного падения на высоте h определяется формулой:

$$g_h = \frac{GM}{(R_З + h)^2}$$, где

• $$G$$ - гравитационная постоянная,
• $$M$$ - масса Земли.

На поверхности Земли ускорение свободного падения:

$$g = \frac{GM}{R_З^2}$$

Выразим $$GM$$ из формулы для $$g$$: $$GM = gR_З^2$$

Подставим $$GM$$ в формулу для $$g_h$$:

$$g_h = \frac{gR_З^2}{(R_З + h)^2}$$

Учитывая, что $$h = \frac{1}{4}R_З$$:

$$g_h = \frac{gR_З^2}{(R_З + \frac{1}{4}R_З)^2} = \frac{gR_З^2}{(\frac{5}{4}R_З)^2} = \frac{gR_З^2}{\frac{25}{16}R_З^2} = \frac{16}{25}g$$

Подставим значение $$g = 9.81 \frac{м}{с^2}$$:

$$g_h = \frac{16}{25} \cdot 9.81 \approx 6.2784 \frac{м}{с^2}$$

Ответ: $$g_h = 6.2784 \frac{м}{с^2}$$