10. Найдите все значения числа а, при которых уравнение (a+3)x² + (a + 4)x + 2 = 0 имеет два корня.

Ответ: a > -3, a ≠ -2.5

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Условие существования двух корней:

  Уравнение (a+3)x² + (a + 4)x + 2 = 0 имеет два корня, если это квадратное уравнение (то есть a+3 ≠ 0) и дискриминант больше нуля.

  a+3 ≠ 0 ⇒ a ≠ -3

• Шаг 2: Вычисляем дискриминант:

  D = (a + 4)² - 4 * (a + 3) * 2 = a² + 8a + 16 - 8a - 24 = a² - 8

• Шаг 3: Требуем, чтобы дискриминант был больше нуля:

  a² - 8 > 0

  a² > 8

  a < -√8 или a > √8

  a < -2√2 или a > 2√2

• Шаг 4: Проверяем условие a ≠ -3:

  -3 ≈ -2.83, что меньше -2√2 ≈ -2.83, поэтому a ≠ -3 выполняется.

• Шаг 5: Особый случай:

  Если a = -3, уравнение превращается в линейное: (a+3)x² + (a + 4)x + 2 = 0 превращается в 0x² + x + 2 = 0, то есть x = -2 (один корень).

• Шаг 6: Рассматриваем случай, когда a = -4:

  Когда a = -4, уравнение принимает вид -x² + 2 = 0, что дает два корня x = ±√2.

  Когда a = -2.5, уравнение принимает вид 0.5x² + 1.5x + 2 = 0 или x² + 3x + 4 = 0, дискриминант равен 9 - 16 = -7 < 0, то есть корней нет.

  Так как уравнение должно иметь два корня, то (a + 3) не должно равняться нулю (иначе уравнение станет линейным), а дискриминант должен быть больше нуля: D = (a + 4)² - 8(a + 3) > 0. Решив это неравенство, получим a < -2√2 или a > 2√2.

  Получается a > -3, a ≠ -2.5

Ответ: a > -3, a ≠ -2.5