Найдите все значения параметра k, при которых система \begin{cases} 2x - ky = 5 \ 3x + 2y = 6 \end{cases} не имеет решений.

Система не имеет решений, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, а определитель расширенной матрицы не равен нулю. Определитель основной матрицы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -k \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2*2 - (-k)*3 = 4 + 3k $$

Чтобы система не имела решений, определитель должен быть равен 0:

$$ 4 + 3k = 0 $$

$$ 3k = -4 $$

$$ k = -\frac{4}{3} $$

Проверим, что при этом значении k система действительно не имеет решений. Подставим k в систему:

$$ \begin{cases} 2x + \frac{4}{3}y = 5 \ 3x + 2y = 6 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3/2:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = \frac{15}{2} \ 3x + 2y = 6 \end{cases} $$

Так как $$ \frac{15}{2}
eq 6$$, система не имеет решений.

Ответ: $$k = -\frac{4}{3}$$