8. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей $$\frac{x}{x-2}$$ и $$\frac{1}{x}$$ равна дроби $$\frac{4}{x^2 - 2x}$$.

**Решение:** **1. Запишем уравнение:** * $$\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{x^2 - 2x}$$ **2. Упростим уравнение:** * Заметим, что $$x^2 - 2x = x(x - 2)$$. Приведем все дроби к общему знаменателю $$x(x - 2)$$: $$\frac{x^2}{x(x-2)} - \frac{x-2}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x - 2)}$$ **3. Объединим дроби в левой части:** * $$\frac{x^2 - (x - 2)}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x - 2)}$$ * $$\frac{x^2 - x + 2}{x(x-2)} = \frac{4}{x(x - 2)}$$ **4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $$x(x - 2)$$:** * $$x^2 - x + 2 = 4$$ **5. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:** * $$x^2 - x - 2 = 0$$ **6. Решим квадратное уравнение:** * Разложим на множители: $$(x - 2)(x + 1) = 0$$ * Корни уравнения: $$x = 2$$ или $$x = -1$$ **7. Проверим корни на допустимые значения:** * Исходное уравнение содержит знаменатели $$x - 2$$ и $$x$$, поэтому $$x
eq 0$$ и $$x
eq 2$$. * $$x = 2$$ не является решением, так как при $$x = 2$$ знаменатель $$x - 2$$ обращается в ноль. * $$x = -1$$ не приводит к делению на ноль, поэтому является решением. **Ответ:** Единственное допустимое значение переменной: $$x = -1$$.