7. Определите количество целых решений системы неравенств: \begin{cases} x^2 \le 6 - x \\ \frac{x+3}{2} - 1 > \frac{x-4}{7} \end{cases}

**Решение:** **1. Решаем первое неравенство:** * $$x^2 \le 6 - x \implies x^2 + x - 6 \le 0$$ * Разложим квадратный трехчлен на множители: $$(x + 3)(x - 2) \le 0$$ * Решением этого неравенства является промежуток: $$x \in [-3, 2]$$ **2. Решаем второе неравенство:** * $$\frac{x+3}{2} - 1 > \frac{x-4}{7}$$ * Умножим обе части неравенства на 14 (наименьшее общее кратное 2 и 7), чтобы избавиться от дробей: $$7(x + 3) - 14 > 2(x - 4)$$ * Раскрываем скобки: $$7x + 21 - 14 > 2x - 8$$ * Переносим все члены с $$x$$ в одну сторону, а числа в другую: $$7x - 2x > -8 - 21 + 14$$ $$5x > -15$$ * Делим обе части на 5: $$x > -3$$ **3. Находим пересечение решений:** * Решение первого неравенства: $$x \in [-3, 2]$$ * Решение второго неравенства: $$x > -3$$ * Пересечение этих решений: $$x \in (-3, 2]$$ **4. Находим целые решения:** * Целые числа в интервале $$(-3, 2]$$: $$-2, -1, 0, 1, 2$$ * Количество целых решений: 5 **Ответ:** Количество целых решений системы неравенств равно 5.