Найдите высоту трапеции, если радиус описанной окружности равен 25, а основания трапеции равны 14 и 48.

Решение:

1. Шаг 1: Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, вписанная в окружность с центром O и радиусом R = 25. Основания BC = 14 и AD = 48.
2. Шаг 2: Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AH = (AD - BC) / 2 = (48 - 14) / 2 = 17.
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. AB^2 = AH^2 + BH^2.
4. Шаг 4: В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
5. Шаг 5: Используя теорему о хорде и касательной, или через углы, вписанные в окружность, можно связать радиус и стороны трапеции.
6. Шаг 6: Для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, существует формула, связывающая радиус R, основания a и b, и высоту h: \( R = \frac{a^2+b^2}{4h} \) при условии, что центр окружности лежит между основаниями. Если центр лежит вне, то \( R = \frac{|a^2-b^2|}{4h} \).
7. Шаг 7: Поскольку центр окружности лежит внутри трапеции, используем первую формулу: \( 25 = \frac{14^2 + 48^2}{4h} \).
8. Шаг 8: \( 25 = \frac{196 + 2304}{4h} \)
9. Шаг 9: \( 25 = \frac{2500}{4h} \)
10. Шаг 10: \( 100h = 2500 \)
11. Шаг 11: \( h = \frac{2500}{100} = 25 \).

Ответ: 25